10. Sınıf Matematik Nicelikler ve Değişimler Konu Anlatımı ve Örnek Sorular

Nicelikler ve Değişimler Ders Notları

Matematikte fonksiyonlar, bir niceliğin başka bir nicelikle olan ilişkisini modellememizi sağlayan temel araçlardandır. 10. Sınıf Matematik Nicelikler ve Değişimler ünitesinde; karesel fonksiyonlar, karekök fonksiyonu ve rasyonel fonksiyonlar gibi gerçek sayılarda tanımlı özel fonksiyon türleri ele alınacaktır. Bu fonksiyonların artanlık, azalanlık, simetri, teklik-çiftlik, maksimum-minimum değer gibi nitel özellikleri, tersleri ve grafik yorumları da detaylı olarak incelenecektir.

Ayrıca bu fonksiyon türleriyle ifade edilen denklem ve eşitsizliklerin çözüm yolları üzerinde durularak, öğrencilerin hem analitik düşünme becerileri hem de fonksiyonel modelleme yetenekleri geliştirilecektir. Gerçek yaşamdan örneklerle desteklenen bu ünitede, matematiksel kavramların uygulama alanları da gözler önüne serilecektir.

İçerik Çerçevesi:
Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyon, Karekök Fonksiyonu ve Rasyonel Fonksiyonlar, Bu Fonksiyonların Nitel Özellikleri, Tersleri ve Bu Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler

• Fonksiyonlar, niceliklerin birbirine bağlı değişimlerini temsil eder.
• Gerçek yaşam durumları, fonksiyonlarla modellenebilir.
• Fonksiyonlar, nitel özelliklerine göre sınıflandırılabilir.
• Referans fonksiyonlar, bir fonksiyon grubunun üretecidir.
• Fonksiyon grafikleri, cebirsel denklem ile eşitsizliklerin incelemesinin ve yorumlanmasının temel araçlarından biridir.

Anahtar Kavramlar:
artanlık-azalanlık, bire birlik, fonksiyon, fonksiyonun işareti, fonksiyonun sıfırı, karekök fonksiyonu, karesel fonksiyon, kök, maksimum-minimum değer, maksimum-minimum nokta, örtenlik, parabol, rasyonel fonksiyon, simetri doğrusu, teklik-çiftlik, ters fonksiyon

1. Karesel Fonksiyonlar (Parabol)

📌 Tanım:
Bir değişkenli, ikinci dereceden fonksiyonlara karesel fonksiyon denir. Genel formu:

Burada a≠0 olmak zorundadır. Bu fonksiyonların grafiği bir paraboldür.

📐 Parabolün Özellikleri:

• Tepelik mi, çukurluk mu?:

  • a>0 ise parabol aşağıdan yukarıya açılır → çanak şeklinde

  • a<0 ise parabol yukarıdan aşağıya açılır → dağ şeklinde

• Tepe Noktası:
  
  ​
  

• Simetri Doğrusu:
  Parabol, tepe noktasından geçen dikey doğruya göre simetriktir.
  Bu doğrunun denklemi:  ​

• Fonksiyonun sıfırları (kökler):
  f(x)=0 eşitliğini sağlayan x değerleri bulunur.
  

Örnek:

f(x) = 2x² – 8x + 6 fonksiyonunun:

a) Tepe noktasını
b) Köklerini
c) Simetri doğrusunu
bulalım.

✅ Çözüm:

Şimdi sırada karekök fonksiyonu var. Bu fonksiyon, özellikle tanım kümesi açısından dikkat gerektiren bir konudur:

2. Karekök Fonksiyonu

📌 Tanım:
Karekök fonksiyonu,

​

şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyon sadece sıfır ve pozitif değerler için tanımlıdır çünkü negatif sayıların karekökü gerçek sayılar kümesinde yoktur.

🧭 Karekök Fonksiyonunun Özellikleri:

• Tanım Kümesi:
  
  (Yani negatif sayılar tanım kümesine dahil değildir.)

• Değer Kümesi:
    yani yalnızca pozitif çıktılar üretir.

• Grafik Özelliği:
  x arttıkça, f(x) artar ama artış giderek yavaşlar.
  Grafik, orijinden başlar ve sağa doğru kıvrılarak devam eder.

• Artan Fonksiyon:
  Fonksiyon, tanım kümesinde artan özelliktedir.

Örnek:

f(x) = √(x – 2) fonksiyonunun:

a) Tanım kümesini
b) Grafiğin başladığı noktayı
bulalım.

✅ Çözüm:

📌 Örnek Soru:

f(x) = √(3x – 6) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?

A) x>2
B) x≥2
C) x≥0
D) x>0

✅ Çözüm:
3x – 6 ≥ 0 → x ≥ 2
Cevap: B

3. Rasyonel Fonksiyonlar

Bu fonksiyonlar, pay ve paydasında polinomlar bulunan özel fonksiyonlardır ve özellikle tanım kümesi, dikey ve yatay asimptotlar, işaret tablosu gibi özelliklerle incelenir.

📌 Tanım:
Bir polinomun başka bir polinoma bölünmesiyle elde edilen fonksiyonlara rasyonel fonksiyon denir.
Genel form:

📌 Rasyonel Fonksiyonlarda Dikkat Edilecek Noktalar:

1. Tanım Kümesi:
   Payda sıfır olamayacağı için, Q(x)=0 olan değerler tanım dışıdır.
   Yani tanım kümesi, Q(x)≠0 olacak şekilde belirlenir.

2. Dikey Asimptot:
   Q(x)=0 yapan değerler genellikle fonksiyonun dikey asimptotudur.

3. Yatay Asimptot:

   • Eğer pay ve paydanın dereceleri eşitse:

   • Payın derecesi küçükse: y=0

   • Payın derecesi büyükse: yatay asimptot yoktur.

4. Fonksiyonların Nitel Özellikleri

Fonksiyonların bazı belirgin özellikleri, grafiklerini çizmeden ya da çözüm yapmadan önce bize çok bilgi verir. Bu özellikler; fonksiyonun artan mı azalan mı olduğu, simetrik olup olmadığı, kökleri, maksimum-minimum noktaları gibi kavramları kapsar.

📌 1. Artanlık – Azalanlık

• Artan Fonksiyon:
  

• Azalan Fonksiyon:
  

• Parabol için:

  

📌 2. Teklik – Çiftlik

• Tek Fonksiyon:
  

• Çift Fonksiyon:
  

• Örnekler:

  

📌 3. Fonksiyonun Sıfırı (Kökleri)

Bir fonksiyonun çıktısının sıfır olduğu değerlerdir:

📌 4. Maksimum – Minimum Değer ve Nokta

• Karesel fonksiyonlarda tepe noktası maksimum ya da minimum noktadır:

  • a>0 → minimum

  • a<0 → maksimum

• Tepe noktası:

📌 5. Bire Birlik ve Örtenlik

• Bire bir fonksiyon: Her y değeri yalnızca bir x değeriyle eşleşir.

• Örten fonksiyon: Tanım kümesinden çıkan her değer, değer kümesini kapsar.

📌 Örnek Soru:

f(x) = -2x² + 8x – 3 fonksiyonu için;

a) Tepe noktası
b) Artan-azalan aralık
c) Maksimum değeri nedir?

✅ Çözüm:

5. Fonksiyonlarla İfade Edilen Denklem ve Eşitsizlikler

Fonksiyonlar, cebirsel denklem ve eşitsizlikleri grafiksel olarak yorumlamamıza ve çözüm kümelerini belirlememize olanak tanır. Karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar ile kurulan denklemler farklı yollarla çözülür.

📌 A) Karesel Fonksiyonlarla Denklem ve Eşitsizlikler

Denklem:

Bu ikinci dereceden denklemin kökleri, diskriminant yöntemiyle bulunur.

Eşitsizlik:

Burada fonksiyonun sıfır yaptığı noktalar bulunur ve işaret tablosu ile çözüm kümesi belirlenir.

📌 B) Karekök Fonksiyonlarla Denklem ve Eşitsizlikler

Denklem:

Eşitsizlik:

📌 C) Rasyonel Fonksiyonlarla Denklem ve Eşitsizlikler

Denklem:

Eşitsizlik:

• Kritik noktalar: x = −1 , 3

• İşaret tablosu oluşturulur.

10. Sınıf Matematik – Nicelikler ve Değişimler Testi

1. Aşağıdakilerden hangisi bir karesel fonksiyon değildir?