10. Sınıf Matematik Sayılar Konu Anlatımı ve Örnek Sorular

10. Sınıf Sayılar Ders Notları

Matematikte sayıların yapısını anlamak, daha karmaşık işlemler ve problemlerde sağlam bir temel oluşturur. 10. Sınıf Matematik Sayılar ünitesinde, sayıların asal çarpanlara ayrılması, bölen-kat ilişkileri, EBOB-EKOK hesaplamaları ve bölünebilme kuralları gibi temel ancak oldukça önemli kavramlar ele alınır. Konular, öğrencilerin işlem becerilerini geliştirmekle kalmaz; aynı zamanda mantıksal düşünme, analiz ve sayıların yapısını kavrama becerilerini de destekler.

MEB’in güncel müfredatına uygun olarak hazırlanan bu içerikte hem kavramsal temellere hem de pratik uygulamalara yer verilecek, her bölüm örnek sorularla pekiştirilecektir.

İçerik Çerçevesi:
Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları, Bölenleri, En Büyük Ortak Bölen, En Küçük Ortak Kat ve Bölünebilme

• 1’den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde tek türlü yazılır.
• Bölünebilme kuralları, bölünen çözümlenerek elde edilir.

Anahtar Kavramlar
aralarında asal, asal sayı, bölen, bölme, bölüm, bölünebilme, çarpan, en büyük ortak bölen, en küçük ortak kat, kalan, kat, ortak bölen, ortak kat

1. Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları

Her 1’den büyük doğal sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yalnızca bir biçimde yazılabilir. Bu ifadeye sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

📌 Tanım:
Bir doğal sayının asal çarpanlara ayrılması, o sayıyı bölen asal sayıların çarpımı şeklinde yazılmasıdır.

📌 Örnek:
60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
60 = 2 × 2 × 3 × 5 → yani 60 = 2² × 3 × 5

📌 Örnek Soru:
72 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2² × 3²
B) 2³ × 3²
C) 2² × 3³
D) 2³ × 3³

✅ Çözüm:
72 → 2 × 2 × 2 × 3 × 3 → 2³ × 3²
Cevap: B

2. Bölen ve Kat Kavramı

📌 Tanım:
Bir a doğal sayısı, başka bir b doğal sayısını tam olarak bölebiliyorsa, b sayısına a’nın böleni, a sayısına ise b’nin katı denir.

Yani:

• 3 sayısı 12’yi böler → 3, 12’nin böleni

• 12 sayısı 3’ün katıdır çünkü 3 × 4 = 12

📌 Not:
Bir sayının bölenleri sayının kendisinden küçük ya da eşit olan doğal sayılardır.
Bir sayının katları ise o sayının kendisi ve daha büyük olan çokluklarıdır. Teorik olarak sonsuzdur.

📌 Örnek:
18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
6’nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …

📌 Örnek Soru:
Aşağıdakilerden hangisi 24’ün hem böleni hem de katı olabilir?

A) 1
B) 24
C) 48
D) 12

✅ Çözüm:
Bir sayının hem böleni hem katı olan tek sayısı kendisidir.
Cevap: B

3. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)

📌 EBOB (En Büyük Ortak Bölen):

İki veya daha fazla sayının ortak bölenleri arasından en büyük olanına EBOB denir.

EBOB(A, B) = A ve B’nin ortak bölenlerinin en büyüğü

📌 Yöntem:

1. Her sayının asal çarpanlarını bulun.

2. Ortak olan asal çarpanlardan küçük olan üslerle çarpın.

📌 Örnek:
EBOB(36, 60)

• 36 = 2² × 3²

• 60 = 2² × 3 × 5
  → Ortak çarpanlar: 2² ve 3
  → EBOB = 2² × 3 = 12

📌 EKOK (En Küçük Ortak Kat):

İki veya daha fazla sayının ortak katları arasından en küçük olanına EKOK denir.

EKOK(A, B) = A ve B’nin ortak katlarının en küçüğü

📌 Yöntem:

1. Her sayının asal çarpanlarını bulun.

2. Tüm asal çarpanlardan büyük olan üslerle çarpın.

📌 Örnek:
EKOK(36, 60)

• 36 = 2² × 3²

• 60 = 2² × 3 × 5
  → Tüm çarpanlar: 2², 3², 5
  → EKOK = 2² × 3² × 5 = 180

📌 Örnek Soru:
EBOB(42, 70) kaçtır?

A) 6
B) 7
C) 14
D) 21

✅ Çözüm:

• 42 = 2 × 3 × 7

• 70 = 2 × 5 × 7
  → Ortak çarpanlar: 2 ve 7
  → EBOB = 2 × 7 = 14
  Cevap: C

📌 Örnek Soru:
EKOK(12, 18) kaçtır?

A) 36
B) 72
C) 90
D) 108

✅ Çözüm:

• 12 = 2² × 3

• 18 = 2 × 3²
  → EKOK = 2² × 3² = 36
  Cevap: A

4. Bölünebilme Kuralları

Bir sayının başka bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini, uzun işlem yapmadan anlamamıza yardımcı olan kurallardır.

📌 2 ile bölünebilme:

Son rakam 0, 2, 4, 6, 8 olan sayılar 2 ile tam bölünür.
Örnek: 134, 278, 100

📌 3 ile bölünebilme:

Rakamları toplamı 3’ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.
Örnek: 372 → 3+7+2 = 12 → 3’ün katı

📌 4 ile bölünebilme:

Son iki basamağı 4’ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.
Örnek: 212 → Son iki basamak 12 → 4’ün katı değil

📌 5 ile bölünebilme:

Son rakamı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
Örnek: 345, 710

📌 6 ile bölünebilme:

2 ve 3 ile aynı anda bölünebilen sayılar 6 ile de bölünür.
Örnek: 132 → Çift ve rakamları toplamı 6 → Bölünür

📌 9 ile bölünebilme:

Rakamları toplamı 9’un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Örnek: 738 → 7+3+8 = 18 → 9’un katı

📌 10 ile bölünebilme:

Son rakamı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür.
Örnek: 420, 1000

📌 Örnek Soru:
Aşağıdaki sayılardan hangisi hem 3 hem de 4 ile tam bölünebilir?

A) 132
B) 144
C) 150
D) 156

✅ Çözüm:

• 144: Rakamları toplamı 9 → 3 ile bölünür

• Son iki basamağı 44 → 4 × 11 → 4 ile bölünür
  → Cevap: B

10. Sınıf Matematik – Sayılar Testi

1. 90 sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2² × 3 × 5
B) 2 × 3² × 5
C) 3² × 5²
D) 2 × 3 × 5

2. 36 ve 48 sayılarının EBOB’u kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 18

3. Aşağıdakilerden hangisi 4 ile tam bölünemez?
A) 112
B) 324
C) 140
D) 520

4. 2 ile 3’ün hem katı olan en küçük pozitif sayı kaçtır?
A) 3
B) 5
C) 6
D) 12

5. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) 60’ın bölenleri arasında 1 vardır.
B) 1 asal sayıdır.
C) 2 en küçük asal sayıdır.
D) Her doğal sayının kendisi bir katıdır.

6. EKOK(15, 20) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75

7. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem 2 hem de 9 ile tam bölünebilir?
A) 108
B) 135
C) 180
D) 192

8. 120 sayısının bölenlerinden kaç tanesi asal sayıdır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

9. 7 ile kalansız bölünebilen en küçük üç basamaklı sayı kaçtır?
A) 100
B) 105
C) 107
D) 112

10. Aşağıdaki sayılardan hangisi 5 ile bölünüp 2 ile bölünemez?
A) 30
B) 35
C) 40
D) 50

Cevap Anahtarı:

1. B

2. C

3. B

4. C

5. B

6. C

7. A

8. C (120 → asal bölenler: 2, 3, 5)

9. B (En küçük 3 basamaklı sayı: 100 → 105 ÷ 7 = 15)

10. B (35: 5 ile bölünür, çift değil)