AYT Matematik Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

📘 Rasyonel Sayı Nedir?

Birbirine oranlanabilen (bölünebilen) iki tam sayıdan oluşan sayılara rasyonel sayılar denir.
Yani:

​

• Kesirli veya tam sayı olarak yazılabilir.
• Kesirli haliyle gösterilmesi zorunlu değildir.

🔍 Neden AYT’de Sorulur?

Çünkü AYT’de sadece rasyonel sayı tanımı değil;

• Rasyonel sayılarla işlem yapma,
• Eşitsizlik çözme,
• Denklem yorumlama,
• Sayı kümeleriyle ilişkisini anlama
  gibi üst düzey beceriler test edilir.

📌 Ünitedeki Alt Başlıklar

1. Rasyonel Sayıların Tanımı ve Sembolik Gösterimi
2. Rasyonel Sayıların Sıralanması ve Karşılaştırılması
3. Rasyonel Sayılarda Dört İşlem (Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme)
4. Rasyonel Sayılarla Denklem Çözme
5. Ters Çevirme, İşaret Değiştirme ve Mutlak Değer
6. Rasyonel Sayılarda Problem Tipleri (AYT Düzeyinde)

Rasyonel Sayıların Tanımı ve Sembolik Gösterimi

📘 Tanım:

Bir tam sayının, sıfırdan farklı bir başka tam sayıya bölünmesiyle elde edilen sayılara rasyonel sayılar denir.

Matematiksel olarak rasyonel sayılar kümesi şu şekilde tanımlanır:

​

Yani:

• a: pay, bir tam sayıdır
• b: payda, sıfırdan farklı bir tam sayıdır

🎯 Bazı Kritik Noktalar (AYT İçin Önemli)

🔹 Tam sayılar da rasyoneldir:

🔹 Payda sıfır olamaz:

Matematikte tanımsızlık oluşturur.

📏 Sembolik Gösterimlerde Dikkat Edilecekler:

🎓 Örnek 1:

Aşağıdakilerden hangisi rasyonel sayı değildir?

🎓 Örnek 2:

Aşağıdakilerden hangisi rasyonel sayıların kümesinde yer almaz?

Çözüm:
Devam eden ama devretmeyen ondalıklar irrasyoneldir.
Cevap: C ✅

🧠 Not: Ondalık Gösterimler Üzerinden Yorum

• Kesirli olarak yazılabilen her sayı rasyoneldir.
• Sonlu ondalıklar (örn: 1.25) ve devreden ondalıklar (örn: 0.333…) ⇒ rasyonel
• Devretmeyen, sonsuz ondalıklar ⇒ irrasyonel

Rasyonel Sayıların Sıralanması ve Karşılaştırılması

📘 Tanım:

Rasyonel sayılar, sayı doğrusunda bir noktaya karşılık geldiği için büyüklük–küçüklük ilişkisi kurulabilir.
Ancak doğrudan karşılaştırmak için bazı kurallara dikkat etmek gerekir.

🎯 Sıralama ve Karşılaştırma Yöntemleri

🔹 1. Paydaları Eşitleyerek Sıralama

Eğer iki rasyonel sayının paydası farklıysa, önce paydalar eşitlenir, sonra paylar karşılaştırılır.

🎓 Örnek:

Hangisi daha büyüktür:

→ Payda eşitle:

• 2/5 = 14/35
• 3/7 = 15/35
  → Karşılaştır: 15 > 14 ⇒

🔹 2. Payları Eşitleyerek Sıralama

Eğer paylar aynıysa, paydası küçük olan daha büyüktür.

🎓 Örnek:

​

→ Paylar eşit.
→ Paydası küçük olan daha büyük:

​

🔹 3. Sayı Doğrusu Üzerinde Yorumlama

Negatif sayılarda işaret terstir.

• Pozitiflerde: büyük → sağda
• Negatiflerde: büyük → daha az negatif olan

🎓 Örnek:

​

→ -0.75 ve -0.666…
→ -0.666 daha büyüktür

​

🔹 4. Ondalık Sayıya Çevirerek Kıyaslama

Kısa kesirlerde, ondalık olarak yazıp doğrudan sıralanabilir.

🎓 Örnek:

🔹 5. Çapraz Çarpım Yöntemi (Orta Yol)

Karşılıklı çarpımlar yapılır, sonuçlar karşılaştırılır.

🎓 Örnek:

🎯 AYT Seviyesi Soru Örnekleri

🎓 Soru 1:

Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

​

Çözüm:

• A: 0.8 < 0.833… → Doğru
• B: 0.75 > 0.7 → Doğru
• C: 0.666 > 0.625 → Yanlış
• D: 0.5 < 0.6 → Yanlış

Doğru cevap: B ✅

🎓 Soru 2:

​ olduğuna göre, hangisi doğrudur?

A) A > B
B) A < B
C) A = B
D) Kıyaslanamaz

Çözüm:

• A = -0.666…
• B = -0.75
  → -0.666 > -0.75
  Cevap: A ✅

🧠 Not:

• Pozitif sayılar karşılaştırılırken işaret doğrudan çalışır
• Negatif sayılarda daha az negatif olan daha büyüktür
• Kesirli karşılaştırmalarda çapraz çarpım çok zaman kazandırır

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem (Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme)

Rasyonel sayılarla işlem yapmak, matematikte temel bir beceridir. Ancak AYT düzeyinde, bu işlemler sadeleştirme, denklem çözme, hata yakalama ve yorumla birlikte sorulabilir.

🔹 A. Toplama ve Çıkarma

📘 Kural:

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma yapılabilmesi için paydalar eşit olmalıdır.

🔹 B. Çarpma

📘 Kural:

Rasyonel sayılarda çarpma, pay ile pay, payda ile payda çarpılarak yapılır:

​

Gerekirse önceden sadeleştirme yapılabilir.

🔹 C. Bölme

📘 Kural:

Rasyonel sayılarda bölme işlemi, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.

🧠 AYT’de Dikkat Edilecek Noktalar:

• İşlem öncesi sadeleştirme büyük kolaylık sağlar
• İşlemi yaptıktan sonra sonucu en sade haliyle bırakmak gerekir
• Negatif işaret varsa tek mi çift mi? dikkat et
• Sıfırın çarpma ve bölmede özel durumu vardır (sıfırla bölme tanımsızdır!)

Bu soru artık rasyonel denklem çözme başlığına girer. Bu kısım bir sonraki bölümde detaylı ele alınacak.

Rasyonel Sayılarla Denklem Çözme

📘 Konu Özeti:

Rasyonel denklemler, kesirli ifadeler içeren eşitliklerdir.
Çözüm yaparken hedefimiz:

• Kesirlerden kurtulmak (paydalardan temizlemek)
• Tanımsızlık durumlarına dikkat etmek
• Paydaların ortak katını kullanarak sadeleştirme yapmak
• Gerekirse denklem çözümü sonrası bulduğumuz değerin paydayı sıfır yapıp yapmadığını kontrol etmek!

🔹 Adım Adım Çözüm Stratejisi:

1. Paydaları belirle
2. Tüm terimleri eşitliğin bir tarafına al (gerekirse)
3. En küçük ortak payda (EKP) ile eşitle
4. Gerekirse her iki tarafı paydalardan kurtarmak için EKP ile çarp
5. Denklemi sade hale getir, çözüme ulaş
6. Bulduğun x değeri, hiçbir paydayı sıfır yapmıyorsa geçerlidir ✅

Bu durumda denklem çözülse bile rasyonel kök elde edilmez.
→ AYT’de kökler rasyonel mi, değil mi? sorusu da gelir.

Ters Çevirme, İşaret Değiştirme ve Mutlak Değer

Bu bölümde, rasyonel sayılarla yapılan işlemlerde özellikle işaret yönetimi, ters alma, ve mutlak değer uygulamaları konularını göreceğiz. Bunlar, özellikle denklemler, eşitsizlikler ve fonksiyonlarla birlikte çokça kullanılır.

⚠️ Dikkat:

0’ın tersi yoktur, çünkü:

🔹 B. İşaret Kuralları (Toplama, Çarpma, Bölme)

• İki pozitif sayı çarpılır/bölünür → sonuç pozitif
• İki negatif sayı çarpılır/bölünür → sonuç pozitif
• Bir negatif bir pozitif çarpılır/bölünür → sonuç negatif

🎓 Örnek:

🔹 C. Mutlak Değer |…|

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve her zaman pozitif ya da sıfırdır.

🎓 Örnek:

🎯 AYT Tarzı Soru 1:

Aşağıdakilerden hangisinin sonucu pozitiftir?

Çözüm:

• A: negatif
• B: negatif · negatif = pozitif ✅
• C: negatif ÷ pozitif = negatif
• D: toplam pozitif ama önünde negatif ⇒ sonuç negatif

Cevap: B ✅

🎯 AYT Tarzı Soru 2:

Aşağıdakilerden hangisi tanımsızdır?

Çözüm:

• A: 0 bölü 5 → 0 ✅
• B: 5 bölü 0 → tanımsız ❌
• C: tersini almak → 5/4 ✅
• D: mutlak değer → 3/7 ✅

Cevap: B ✅

🧠 AYT’de Dikkat Et:

• Ters alma sorularında 0’a dikkat!
• Mutlak değer daima pozitif sonuç verir
• İşaret karışıklığına düşmemek için adım adım yaz
• Sadeleştirme ve işaret birlikte yapılabilir ama hata riski artar
• “Tersi alınabilir mi?” diye soruluyorsa 0 içerip içermediğini kontrol et

Rasyonel Sayılarda AYT Düzeyinde Problem Tipleri

Bu bölümde:

🔹 Gerçek yaşam problemleri
🔹 Denklem içeren yorumlu sorular
🔹 Tanımsızlık ve ters alma durumları
🔹 Sayı karşılaştırmaları ve sıralama
🔹 Hatalı işlem tuzakları

gibi farklı bakış açıları içeren sorular yer alır.

🎓 Örnek 3 – İşaret – Terslik Problemi:

Bir rasyonel sayının çarpma tersi ile kendisinin toplamı 5’tir. Bu sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Kökler rasyonel değil ⇒ seçenekleri dene:

• x = 1 ⇒ 1 + 1 = 2 ❌
• x = 2 ⇒ 2 + 0.5 = 2.5 ❌
• x = -2 ⇒ -2 – 0.5 = -2.5 ❌
• x = 1/2 ⇒ 0.5 + 2 = 2.5 ❌

Hiçbiri sağlamaz.
→ Cevap: Yok (tuzak soru)
AYT’de seçenek dışı, mantık arayışlı sorular çok sorulur.

🎓 Örnek 4 – Karşılaştırma Sorusu:

Aşağıdakilerden hangisi en büyüktür?

​

Çözüm:

• A: 0.6
• B: ≈ 0.555
• C: ≈ 0.666
• D: ≈ 0.571

🎓 Örnek 5 – Tanımsızlık Sorusu:

​

Aşağıdakilerden hangisi bu ifadeyi tanımsız yapar?

A) x = -3
B) x = 0
C) x = 1
D) x = 2

Çözüm:

Cevap: A) x = -3 ✅

AYT Matematik Rasyonel Sayılar Deneme Testi

✅ Cevap Anahtarı