10. Sınıf Matematik Geometrik Şekiller Konu Anlatımı ve Örnek Sorular

10. Sınıf Geometrik Şekiller Ders Notları

Geometri, şekiller arasındaki bağıntıları anlamamıza ve günlük yaşamda karşılaştığımız birçok problemi modellememize yardımcı olur. 10. Sınıf Matematik Geometrik Şekiller ünitesi, dik üçgende trigonometrik oranlar ve özdeşlikler, üçgende yardımcı elemanlar, alan hesaplamaları ve sinüs-kosinüs teoremleri gibi üçgen geometrisinin temel yapı taşları işlenecektir.

Trigonometrik oranlar sayesinde, açılar ile kenarlar arasında nicel ilişkiler kurulurken; yardımcı elemanlar ve alan hesaplamaları da geometrik çözümleme becerilerini geliştirecek. Ayrıca, sinüs ve kosinüs teoremleri, klasik yöntemlerle çözülemeyen karmaşık üçgen problemlerinde büyük kolaylık sağlar.

İçerik Çerçevesi:
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler, Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Bunlar Arasındaki İlişkiler, Üçgende Alan, Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

• Trigonometrik oranlar, bir açıya ilişkin sabitlerdir.
• Benzer üçgenlerin alanları da orantılıdır.

Anahtar Kavramlar:
ağırlık merkezi, alan, birim çember, çevrel çember, iç açıortay, iç teğet çember, dış açıortay, dış teğet çember, kenar orta dikme, kosinüs teoremi, sinüs teoremi, trigonometrik oranlar, yönlü açı, yükseklik

1. Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

📌 Trigonometrik Oranlar

Bir dik üçgende, bir açının karşısındaki dik kenar, komşu dik kenar ve hipotenüs arasındaki oranlarla tanımlanan üç temel trigonometrik oran vardır:

Verilen bir dik üçgende ∠A için tanımlar:

📌 Trigonometrik Özdeşlikler

Trigonometrik oranlar arasında sabit bazı özdeşlikler vardır:

​

Bu özdeşlikler özellikle ifadeleri sadeleştirmek ve denklemleri çözmek için kullanılır.

2. Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Bunlar Arasındaki İlişkiler

Bir üçgende temel elemanların yanı sıra, çözümlemelerde büyük kolaylık sağlayan yardımcı elemanlar da kullanılır. Bu elemanlar, genellikle üçgenin iç veya dış noktalarında kesişen özel doğrulardır.

📌 Yardımcı Elemanlar

✅ A) Kenarortay (Orta Nokta Birleştireni)

Bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasıdır.
Her üçgende 3 tane vardır, bir noktada (ağırlık merkezi) kesişirler.

✅ B) Yükseklik

Bir köşeden karşı kenara indirilen dik doğru parçasıdır.
Üçgenin türüne göre içte veya dışta olabilir. Üçü de diklik merkezinde kesişir.

✅ C) Açıortay

Bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğrudur.
Üçgenin iç açıortayları iç teğet çember merkezinde kesişir.

✅ D) Kenar Orta Dikme

Bir kenarın orta noktasına dik çizilen doğru parçasıdır.
Üçgenin çevrel çember merkezinde kesişirler.

✅ E) Dış Açıortay

Bir köşenin dış açısını iki eş parçaya bölen doğru parçasıdır.
İki iç, bir dış açıortay dış teğet çember merkezinde kesişir.

📌 Yardımcı Elemanların Kesişim Noktaları:

Örnek Soru:

Bir üçgende, bir köşeden çıkan doğru karşı kenarı iki eşit parçaya bölüyor ve kenara dik değildir. Bu doğru aşağıdakilerden hangisidir?

A) Yükseklik
B) Açıortay
C) Kenarortay
D) Kenar orta dikme

✅ Cevap: C
Kenarın ortasını birleştiriyor ama dik değil → kenarortay

3. Üçgende Alan

Üçgenin alanı, farklı bilgi türlerine göre çeşitli yöntemlerle hesaplanabilir. Bu bölümde hem temel formülü hem de özel durumları ele alacağız.

A) Temel Alan Formülü

Bir üçgende herhangi bir kenar ve bu kenara ait yükseklik biliniyorsa:

B) Sinüs ile Alan Formülü

İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa:

Burada:

• a ve b: iki kenar

• C: aralarındaki açı

Bu formül sayesinde, kenar ve açı bilgisiyle kolayca alan hesaplanabilir.

C) Eşkenar Üçgenin Alanı

Bir kenar uzunluğu $a$ olan eşkenar üçgenin alanı:

4. Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Bu iki teorem, üçgenlerde kenar ve açı arasındaki ilişkileri verir. Özellikle dik olmayan üçgenlerde kenar veya açı bulmak için çok kullanışlıdır.

📌 A) Sinüs Teoremi

Bir üçgende karşılıklı kenarların uzunluklarının, o kenarların karşısındaki açıların sinüslerine oranı eşittir.

📌 Kullanım:

• Bir kenar ve ona ait açı ile diğer açı veya kenarları bulmak için kullanılır.

📌 B) Kosinüs Teoremi

Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamından, bu iki kenarın çarpımı ile aralarındaki açının kosinüsünün iki katı çıkarılarak elde edilir:

📌 Kullanım:

• Üç kenarı bilinen üçgende açı bulmak

• İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa üçüncü kenarı bulmak

10. Sınıf Matematik – Geometrik Şekiller Testi

2. Aşağıdakilerden hangisi “açı iki eş parçaya bölünmüş” ifadesini tanımlar?
A) Yükseklik
B) Açıortay
C) Kenarortay
D) Kenar orta dikme

3. Kenarortayların kesişim noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) Teğet çember merkezi
B) Diklik merkezi
C) Ağırlık merkezi
D) Çevrel çember merkezi

4. Üçgenin bir kenarı 10 cm ve bu kenara ait yükseklik 6 cm ise, alanı kaç cm²’dir?
A) 30
B) 60
C) 40
D) 50

8. Aşağıdakilerden hangisi bir kenarın orta noktasından geçen, o kenara dik olan doğrudur?
A) Yükseklik
B) Kenar orta dikme
C) Kenarortay
D) Dış açıortay

9. Bir üçgenin çevrel çember merkezi hangi yardımcı elemanların kesişimidir?
A) Açıortay
B) Yükseklik
C) Kenar orta dikme
D) Kenarortay

Cevap Anahtarı:

1. A

2. B

3. C

4. B

5. C

6. B

7. C

8. B

9. C

10. C