Çokgenler Konu Anlatımı

Matematikte çokgenler, kapalı ve düzlemsel şekiller olup doğrusal kenarları bulunan geometrik yapılardır. Üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen gibi çokgen türleri vardır ve her birinin kendine özgü açı ve alan özellikleri bulunur.

Bu ünitede çokgenlerin köşegenleri, iç ve dış açıları, düzgün çokgenler, dörtgenler ve alan hesaplamaları üzerinde duracağız.

Çokgenlerin Köşegenleri, İç ve Dış Açıları

📌 Çokgen Nedir?

✔ Çokgen, düzgün olmayan kırık bir çizgiyle sınırlı kapalı bir şekildir.

✔ Özellikleri:

• En az 3 kenara sahip olmalıdır.
• Kenarlardan hiçbiri eğri olmamalıdır.
• Aynı doğrultuda olmayan en az üç noktayı birleştiren kapalı şekillerdir.

📌 Örnek:

• Üçgen (3 kenarlı)
• Dörtgen (4 kenarlı)
• Beşgen (5 kenarlı)
• Altıgen (6 kenarlı)
• Sekizgen (8 kenarlı)

📌 Çokgenlerin İç Açıları

Bir n kenarlı çokgenin iç açılar toplamı şu formülle hesaplanır:

📌 Çokgenlerin Dış Açıları

Bir çokgenin dış açılar toplamı her zaman: 360°

Bu çokgenin kenar sayısına bağlı olmaksızın değişmez.

📌 Çokgenlerin Köşegenleri

n kenarlı bir çokgenin köşegen sayısı şu formülle bulunur:

📌 Örnek Problemler:

1. Yedigenin iç açılar toplamı kaçtır?
2. Sekizgenin bir dış açısı kaç derecedir?
3. Dokuzgenin kaç köşegeni vardır?
4. Ongenin iç açılar toplamı kaçtır?
5. Beşgenin dış açılar toplamı kaçtır?

Düzgün Çokgenler

Düzgün çokgen, tüm kenarları ve tüm iç açıları eşit olan çokgendir. Düzgün üçgen (eşkenar üçgen), düzgün dörtgen (kare), düzgün beşgen, düzgün altıgen gibi çokgenler vardır.

Düzgün çokgenlerin bazı özel formülleri ve özellikleri vardır.

Düzgün Çokgenlerde İç ve Dış Açılar

✔ İç Açılar:
Bir n kenarlı düzgün çokgenin bir iç açısı şu formülle hesaplanır:

✔ Dış Açılar:
Bir n kenarlı düzgün çokgenin bir dış açısı şu formülle hesaplanır:

Düzgün Çokgenlerin Köşegenleri

Bir düzgün çokgenin köşegen sayısı şu formülle bulunur:

📌 Örnek Problemler:

1. Düzgün ongenin bir iç açısı kaç derecedir?
2. Düzgün beşgenin bir dış açısı kaç derecedir?
3. Düzgün dokuzgenin kaç köşegeni vardır?
4. Düzgün altıgenin bir iç açısı kaçtır?
5. Düzgün sekizgenin bir dış açısı kaçtır?

Dörtgenler

Dörtgen, dört kenarı ve dört köşesi olan bir kapalı geometrik şekildir. Paralelkenar, dikdörtgen, kare, yamuk, eşkenar dörtgen ve deltoid gibi farklı dörtgen türleri vardır.

Her dörtgenin iç açılar toplamı $360°$’dir

Dörtgenlerin Türleri ve Özellikleri

📌 Paralelkenar

✔ Özellikler:

• Karşılıklı kenarları paraleldir.
• Karşılıklı açıları eşittir.
• Karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.
• Köşegenleri birbirini ortalar.

📌 Dikdörtgen

✔ Özellikler:

• Karşılıklı kenarları paraleldir ve eşittir.
• Tüm açıları $90°$’dir.
• Köşegenleri eşittir ve birbirini ortalar.

📌 Kare

✔ Özellikler:

• Dört kenarı eşittir.
• Tüm açıları $90°$’dir.
• Köşegen uzunlukları eşittir ve birbirini dik keser.

📌 Yamuk

✔ Özellikler:

• Sadece iki kenarı paraleldir.
• Komşu iç açılar toplamı $180°$’dir.
• İkizkenar yamukta köşegenler eşittir.

📌 Örnek Problemler:

1. Bir dikdörtgenin uzun kenarı 15 cm, kısa kenarı 9 cm’dir. Köşegen uzunluğu kaç cm’dir?
2. Bir karenin alanı 64 cm²’dir. Karenin çevresi kaç cm’dir?
3. Bir paralelkenarın bir açısı 80° ise, diğer açıları kaçtır?
4. Bir yamukta paralel kenarlar 14 cm ve 8 cm, yüksekliği 5 cm’dir. Alanı kaç cm²’dir?
5. Bir dikdörtgenin çevresi 36 cm ve uzun kenarı 10 cm’dir. Kısa kenarı kaç cm’dir?

Eşkenar Dörtgenin ve Yamuğun Alanı

Bu bölümde eşkenar dörtgenin ve yamuğun alan hesaplamalarını öğreneceğiz.

Eşkenar Dörtgenin Alanı

Eşkenar dörtgen, dört kenarı eşit olan bir dörtgendir ve köşegenleri birbirini dik keser.

✔ Eşkenar dörtgenin alan formülü:

Yamuğun Alanı

Yamuk, sadece iki kenarı paralel olan dörtgendir. Paralel kenarlar arasındaki mesafeye yükseklik denir.

✔ Yamuğun alan formülü:

📌 Örnek Problemler:

1. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri 12 cm ve 16 cm’dir. Alanı kaç cm²’dir?
2. Bir yamukta paralel kenarlar 18 cm ve 10 cm, yüksekliği 7 cm’dir. Alanı kaç cm²’dir?
3. Bir eşkenar dörtgenin alanı 72 cm² ve bir köşegeni 9 cm’dir. Diğer köşegen kaç cm’dir?
4. Bir yamukta alan 120 cm², paralel kenarları 20 cm ve 16 cm’dir. Yüksekliği kaç cm’dir?
5. Bir eşkenar dörtgenin köşegen uzunluklarından biri diğerinin iki katıdır. Alanı 50 cm² olan bu dörtgenin köşegenlerini bulun.

Alan ile İlgili Problemler

Bu bölümde eşkenar dörtgen, yamuk ve diğer dörtgenlerin alan hesaplamalarına dayalı problemleri çözeceğiz. Gerçek hayatta alan hesaplamaları, inşaat, harita okuma, mimarlık gibi birçok alanda kullanılır.

Dörtgenlerin Alanları ile İlgili Problemler

📌 Örnek 1:
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri 18 cm ve 10 cm ise alanı kaç cm²’dir?

✅ Çözüm:
Eşkenar dörtgenin alan formülü:

📌 Örnek 2:
Bir yamukta paralel kenarlar 16 cm ve 10 cm, yüksekliği 8 cm ise alanı kaç cm²’dir?

📌 Örnek 3:
Alanı 96 cm² olan bir eşkenar dörtgenin bir köşegeni 12 cm ise, diğer köşegen kaç cm’dir?

📌 Örnek 4:
Bir yamukta alan 150 cm², paralel kenarları 20 cm ve 10 cm ise, yüksekliği kaç cm’dir?

📌 Örnek 5:
Bir eşkenar dörtgenin köşegen uzunluklarından biri diğerinin 3 katıdır. Eğer alanı 72 cm² ise köşegenleri bulun.

Alan Hesaplamalarına Dayalı Gerçek Hayat Problemleri

📌 Örnek 6:
Bir bahçe yamuk şeklindedir. Paralel kenarları 30 m ve 20 m, yüksekliği 15 m ise, bahçenin alanı kaç metrekaredir?

✔ Önemli Özellikler:

• Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesişir.
• Yamukta iç açılar toplamı 360°’dir.
• Eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşittir.
• Yamukta komşu açılar toplamı 180°’dir.

📌 Örnek Problemler:

1. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri 14 cm ve 16 cm’dir. Alanı kaç cm²’dir?
2. Bir yamukta paralel kenarlar 18 cm ve 12 cm, yüksekliği 8 cm’dir. Alanı kaç cm²’dir?
3. Bir eşkenar dörtgenin alanı 120 cm² ve bir köşegeni 15 cm’dir. Diğer köşegen kaç cm’dir?
4. Bir yamukta alan 200 cm², paralel kenarları 25 cm ve 15 cm’dir. Yüksekliği kaç cm’dir?
5. Bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinden biri diğerinin 4 katıdır. Eğer alanı 100 cm² ise köşegenleri bulun.

Çokgenler Konusu 10 Soruluk Test

1. Bir beşgenin iç açılar toplamı kaç derecedir?

A) 360°
B) 540°
C) 720°
D) 900°

2. Bir düzgün altıgenin bir iç açısı kaç derecedir?

A) 100°
B) 110°
C) 120°
D) 130°

3. Bir düzgün sekizgenin bir dış açısı kaç derecedir?

A) 30°
B) 40°
C) 45°
D) 50°

4. Bir yedigenin kaç köşegeni vardır?

A) 14
B) 15
C) 18
D) 21

5. Bir dikdörtgenin uzun kenarı 12 cm, kısa kenarı 9 cm’dir. Köşegen uzunluğu kaç cm’dir?

A) 15 cm
B) 16 cm
C) 18 cm
D) 20 cm

6. Bir yamukta paralel kenarlar 14 cm ve 10 cm, yüksekliği 6 cm’dir. Alanı kaç cm²’dir?

A) 48 cm²
B) 60 cm²
C) 72 cm²
D) 84 cm²

7. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri 16 cm ve 12 cm’dir. Alanı kaç cm²’dir?

A) 84 cm²
B) 90 cm²
C) 96 cm²
D) 100 cm²

8. Bir düzgün ongenin bir iç açısı kaç derecedir?

A) 120°
B) 126°
C) 140°
D) 144°

9. Bir yamukta alan 120 cm², paralel kenarları 20 cm ve 16 cm’dir. Yüksekliği kaç cm’dir?

A) 6 cm
B) 7 cm
C) 8 cm
D) 9 cm

10. Bir eşkenar dörtgenin alanı 50 cm² ve bir köşegeni 10 cm’dir. Diğer köşegen kaç cm’dir?

A) 5 cm
B) 8 cm
C) 10 cm
D) 12 cm

Cevap Anahtarı
1 – B
2 – C
3 – C
4 – A
5 – A
6 – C
7 – C
8 – D
9 – C
10 – A