8. Sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı ve Örnek Sorular

Matematikte sayılar arasındaki ilişkileri anlamak, birçok problemi çözebilmek için oldukça önemli. Sayıların çarpanlarını, asal çarpanlarını ve katlarını bilmek, özellikle bölünebilme kuralları, EBOB-EKOK hesaplamaları ve çeşitli sayı problemlerinde temel oluşturur. Çarpanlar ve Katlar konusu, sayıların yapı taşlarını öğrenerek matematikte daha sağlam bir temel oluşturmanızı sağlar.

Bu konu kapsamında öncelikle çarpan ve asal çarpanları ele alarak, bir sayının hangi sayılarla tam bölünebileceğini öğreneceğiz. Ardından EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) kavramlarını inceleyerek, sayıların ortak çarpanlarını ve katlarını nasıl belirleyebileceğimizi göreceğiz. Son olarak aralarında asal sayılar konusuyla, bazı sayı çiftlerinin neden ortak böleni olmadığını ve bu durumun matematiksel anlamını öğreneceğiz. Bu bilgiler, ilerleyen konularda problem çözme yeteneğinizi geliştirmenize yardımcı olacak.

8. Sınıf Matematik – Çarpanlar ve Asal Çarpanlar Konu Anlatımı

Bu bölümde çarpanlar ve bölenler, asal çarpanlar ve ortak bölenler ile ortak katlar kavramlarını detaylı bir şekilde ele alacağız. Bu kavramlar, matematiğin birçok alanında temel bilgiler olduğu için konuyu iyi kavramak oldukça önemlidir.

1. Bir Sayının Çarpanları ve Bölenleri

Bir doğal sayıyı tam bölebilen sayılara, o sayının çarpanları veya bölenleri denir.

Çarpan ve Bölen Kavramı

• Bir sayıyı tam bölen her sayı, o sayının çarpanıdır.
• Çarpanlar genellikle küçükten büyüğe doğru sıralanır.
• Bir sayının çarpanları o sayıyı tam bölebilen sayılardır ve bölme işleminde kalansız bölme sağlanmalıdır.

📌 Örnek:
12 sayısının çarpanlarını bulalım.
12’yi tam bölen sayılar:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Bu durumda 12’nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir.

Çarpanlar ve Bölenlerin Özellikleri

1. Her sayının 1 ve kendisi çarpanıdır.
   • Örneğin: 8 sayısının çarpanları 1, 2, 4 ve 8’dir.
2. Bir sayının çarpanları çiftler halinde yazılabilir.
   • 12 için: (1,12), (2,6), (3,4) şeklinde yazılabilir.
3. Bir sayının çarpanları, o sayıyı oluşturan tam sayıların çarpımıdır.
   • 18 = 2 × 9 veya 18 = 3 × 6

2. Asal Çarpanlar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Asal Sayılar Nedir?

• Sadece 1 ve kendisine bölünebilen 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
• Örneğin: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 asal sayılardır.

📌 Önemli Not: 2 asal sayılar arasında tek çift asal sayıdır. Diğer asal sayılar tek sayıdır.

Asal Çarpan Nedir?

• Bir sayının sadece asal olan çarpanlarına, asal çarpanlar denir.
• Örneğin: 20’nin asal çarpanları 2 ve 5’tir (Çünkü 20 = 2 × 2 × 5).

📌 Örnek:
36’nın asal çarpanlarını bulalım.
36’yı asal sayılara ayıralım:
36 = 2 × 2 × 3 × 3
36’nın asal çarpanları: 2 ve 3’tür.

Asal Çarpanlara Ayırma (Asal Çarpan Algoritması)

Bir sayıyı sadece asal sayıların çarpımı şeklinde yazma işlemine, asal çarpanlara ayırma denir.

Bunu yapmak için şu adımları takip edebiliriz:

1. Sayıyı en küçük asal sayı olan 2’ye bölerek başlayın.
2. Bölme işlemi bitene kadar devam edin.
3. 2’ye bölünemez hale geldiğinde bir sonraki asal sayıya geçin (3, 5, 7…).
4. Sayı tamamen 1 olana kadar asal sayılara bölmeye devam edin.

📌 Örnek:
48’i asal çarpanlarına ayıralım.
48’i asal çarpanlarına ayırırken bölme yöntemi kullanılır:

48’in asal çarpanları: 2 × 2 × 2 × 2 × 3 veya 2⁴ × 3

3. Ortak Bölenler ve Ortak Katlar

Bazı problemlerde iki veya daha fazla sayının ortak çarpanlarını veya ortak katlarını bulmamız gerekebilir.

Ortak Bölenler (OB) Nedir?

İki veya daha fazla sayının ortak olan çarpanlarına ortak bölenler denir.

📌 Örnek:
24 ve 36’nın ortak bölenlerini bulalım.

• 24’ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• 36’nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
• Ortak bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Burada en büyük ortak bölen: 12’dir. (Bu kavram EBOB konusunun temelidir.)

Ortak Katlar (OK) Nedir?

İki veya daha fazla sayının ortak olan katlarına ortak katlar denir.

📌 Örnek:
6 ve 8’in ortak katlarını bulalım.

• 6’nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …
• 8’in katları: 8, 16, 24, 32, 40, …
• Ortak katlar: 24, 48, 72, …

Buradaki en küçük ortak kat (EKOK) 24’tür. (Bu kavram EKOK konusunun temelidir.)

Bu bölümde şunları öğrendik:
✅ Bir sayının çarpanları ve bölenleri nasıl bulunur?
✅ Asal çarpanlar ve asal çarpanlara ayırma nasıl yapılır?
✅ Ortak bölenler ve ortak katlar nasıl belirlenir?

8. Sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar Örnek Sorular

1. Bir Sayının Çarpanlarını Bulma

📌 Soru 1: 18 sayısının tüm çarpanlarını bulunuz.

Çözüm:
18 sayısının çarpanlarını bulmak için onu bölebilen tüm doğal sayıları belirleyelim:

• 1, 2, 3, 6, 9, 18

✅ Cevap: 18’in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18

2. Asal Çarpanları Bulma

📌 Soru 2: 60 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.

Çözüm:

• 60’ı asal çarpanlarına ayıralım:
  • 60 ÷ 2 = 30
  • 30 ÷ 2 = 15
  • 15 ÷ 3 = 5
  • 5 ÷ 5 = 1

60 = 2 × 2 × 3 × 5 şeklinde yazılır.
60’ın asal çarpanları: 2, 3 ve 5

✅ Cevap: 2, 3, 5

3. Asal Çarpanlarına Ayırma

📌 Soru 3: 72 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

• 72’yi asal çarpanlarına ayırıyoruz:
  • 72 ÷ 2 = 36
  • 36 ÷ 2 = 18
  • 18 ÷ 2 = 9
  • 9 ÷ 3 = 3
  • 3 ÷ 3 = 1

72 = 2⁳ × 3² olarak yazılır.

✅ Cevap: 2⁴ × 3²

4. Ortak Bölenleri Bulma

📌 Soru 4: 48 ve 64 sayılarının ortak bölenlerini bulunuz.

Çözüm:

• 48’in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
• 64’ün bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
• Ortak bölenler: 1, 2, 4, 8, 16

✅ Cevap: 1, 2, 4, 8, 16

5. Ortak Katları Bulma

📌 Soru 5: 6 ve 9’un en küçük ortak katını (EKOK) bulunuz.

Çözüm:

• 6’nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
• 9’un katları: 9, 18, 27, 36, 45, …
• Ortak katlar: 18, 36, 54, …
• En küçük ortak kat: 18

✅ Cevap: EKOK(6,9) = 18

6. Aralarında Asal Sayıları Bulma

📌 Soru 6: Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

A) 15 ve 25
B) 21 ve 28
C) 14 ve 25
D) 18 ve 30

Çözüm:
Aralarında asal sayılar, ortak böleni sadece 1 olan sayı çiftleridir.

• 15 ve 25: Ortak bölenleri: 1, 5 ❌
• 21 ve 28: Ortak bölenleri: 1, 7 ❌
• 14 ve 25: Ortak bölen sadece 1 ✅ (Aralarında asal)
• 18 ve 30: Ortak bölenleri: 1, 2, 3, 6 ❌

✅ Cevap: C) 14 ve 25

7. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Hesaplama

📌 Soru 7: 48 ve 60 sayılarının EBOB’unu bulunuz.

Çözüm:
48’in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
60’ın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Ortak bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12
En büyük ortak bölen EBOB(48,60) = 12

✅ Cevap: 12

8. Bir Sayının Asal Çarpanlarını Bulma

📌 Soru 8: 90 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

• 90 ÷ 2 = 45
• 45 ÷ 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

90 = 2 × 3² × 5

✅ Cevap: 2 × 3² × 5

9. Ortak Bölenleri Bulma

📌 Soru 9: 20 ve 35’in ortak bölenlerini bulunuz.

Çözüm:

• 20’nin bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20
• 35’in bölenleri: 1, 5, 7, 35
• Ortak bölenler: 1 ve 5

✅ Cevap: 1 ve 5

10. En Küçük Ortak Kat (EKOK) Hesaplama

📌 Soru 10: 8 ve 12’nin EKOK’unu bulunuz.

Çözüm:

• 8’in katları: 8, 16, 24, 32, 40, …
• 12’nin katları: 12, 24, 36, 48, …
• Ortak katlar: 24, 48, 72, …
• En küçük ortak kat: 24

✅ Cevap: EKOK(8,12) = 24

📌 10 soru boyunca şunları öğrendik:
✔ Bir sayının çarpanlarını nasıl buluruz?
✔ Asal çarpanlara ayırma nasıl yapılır?
✔ Ortak bölenler ve ortak katlar nasıl bulunur?
✔ EBOB ve EKOK hesaplamaları nasıl yapılır?
✔ Aralarında asal sayı çiftleri nasıl belirlenir?